こんにちは！うちもNPO事務局で似たようなことをやっています。

[現状]
・NPO法人で災害時に被災者支援に行ってくれる医療従事者を登録しています。
・登録会員の名簿管理をkintoneにて行っています。
・自分の名簿はご本人（と家族に会員がいればその方も。秘書の方も、というケースもあり）のみが閲覧・編集可。他の会員の名簿は閲覧出来ない。

基本機能でやっています。
やり方は、sujiさんが紹介していたのと同じです。
私はこちらの資料を参考にして行いました。
https://kintone.cybozu.co.jp/material/pdf/kintone_guidebook_vol08.pdf
（レコードのアクセス権の設定）
フォーム内にて「ユーザー選択」フィールドを使用。「閲覧権」と言う表示にして、ご本人にも、誰が自分の名簿を見ることが出来るのかを分かりやすくしています。

この資料で言うと、私たちだと
●「レコードの条件」➡「すべてのレコード」
●ユーザー／組織／グループとアクセス権
「佐藤 昇」➡「事務局」
「関東担当チーム」➡　「閲覧権（フォームのフィールドを追加、より）」
で設定してます。

レコード登録時にその利用者や家族をユーザー選択フィールドにて選択して登録すれば、閲覧出来る人のコントロールが可能です。
（添付：demo01が本人、demo01_familyがdemo01さんの家族）

ちなみに私たちの場合、最初に400名程度の会員名簿アプリが作成され（当時は事務局のみ閲覧可）、一年後にレコードアクセス権で本人のみが見れるように設定することになりました。なので、CSVの読み込みで一気に「閲覧権」を設定しました。「ひ」さんも、もし入力済のレコードが既に沢山あって今から一つ一つそれらを本人や家族のみ見れるよう設定したいのであれば、その方法だと早いかと思います。

でも日々の入力ということですし毎回ユーザー選択も面倒ですかね…あくまでもレコードアクセス権の使い方ということで、ご参考にしてくだされば…

おはようございます。
＞自分のログインアカウントと同じ名前が入力されているもののみ閲覧
であれば、こちらが詳しいです。
https://www.joyzo.co.jp/blog/389

が
＞[したいこと]
＞・利用者や家族にもアカウントを配布し、利用されている本人や家族にも、その日々の記録を閲覧＞してほしい
＞・利用者や家族が閲覧する場合、他の利用者の記録を見れないように制限したい
に関して、利用者の名前と家族のアカウントは一致しなそうなので、
ひとひねり必要そうです。

kViewerやじぶんページなどの外部連携サービスは検討されていますか？
人数にもよりますが、kintoneアカウントを契約するより安価になるパターンが多いです。

以上です。